Если перед логарифмом стоит число

Если перед логарифмом стоит число, как можно преобразовать это выражение?

Если перед логарифмом стоит число, это число можно записать в показатель степени выражения под знаком логарифма:

    \[p \cdot {\log _a}x = {\log _a}{x^p}\]

(x>0).

Например,

    \[2{\log _7}9 = {\log _7}{9^2} = {\log _7}81;\]

    \[\frac{1}{2}{\log _3}36 = {\log _3}{36^{\frac{1}{2}}} = {\log _3}\sqrt {36} = {\log _3}6;\]

    \[ - 8\lg \sqrt[4]{{\frac{1}{5}}} = \lg {(\sqrt[4]{{\frac{1}{5}}})^{ - 8}} = \lg {(\frac{1}{5})^{ - \frac{8}{4}}} = \]

    \[ = \lg {5^2} = \lg 25.\]

Вместе с суммой логарифмов и разностью логарифмов это свойство часто встречается при упрощении выражений с логарифмами, при решении логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

А как умножить число на логарифм в квадрате? В кубе?

Если число стоит перед n-й степенью логарифма, то в показатель степени можно записать корень n-й степени из этого числа (при условии, что такой корень существует):

    \[p \cdot {\log ^n}_a{x^p} = {\log _a}{x^{\sqrt[n]{p}}}\]

В частности,

    \[p \cdot {\log ^2}_a{x^p} = {\log _a}{x^{\sqrt p }}\]

    \[p \cdot {\log ^3}_a{x^p} = {\log _a}{x^{\sqrt[3]{p}}}.\]

Например,

    \[64\log _5^32 = \log _5^3{2^{\sqrt[3]{{64}}}} = \log _5^3{2^4} = \log _5^316.\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *