Логарифм частного

Чему равен логарифм частного? Это зависит от знаков делимого и делителя.

При положительных делимом и делителе

логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

В этом случае формула логарифма частного может быть записана как

    \[{\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\]

где x>0, y>0.

Например,

    \[{\log _2}\frac{{\sqrt[9]{{32}}}}{{128}} = {\log _2}\sqrt[9]{{32}} - {\log _2}128 = \]

    \[ = {\log _2}\sqrt[9]{{{2^5}}} - {\log _2}128 = \]

    \[ = {\log _2}{2^{\frac{5}{9}}} - {\log _2}{2^7} = \frac{5}{9} - 7 = - 6\frac{4}{9}.\]

Если в ходе решения логарифмических уравнений, неравенств либо их систем требуется осуществить переход от логарифма частного к разности логарифмов, следует учесть область допустимых значений.

Когда на области допустимых значений переменные положительны, проблемы при таком переходе не возникают.

Например, в системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} {\log _3}\frac{{x - 1}}{y} + 2 = 5\\ {\log _3}(x - 1) + {\log _3}y = 1 \end{array} \right.\]

область допустимых значений —

    \[\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 1}}{y} > 0\\ x - 1 > 0\\ y > 0 \end{array} \right.\]

откуда

    \[\left\{ \begin{array}{l} x > 1\\ y > 0. \end{array} \right.\]

При таких условиях можем преобразовать логарифм частного как

    \[{\log _3}\frac{{x - 1}}{y} = {\log _3}(x - 1) - {\log _3}y,\]

и система примет вид:

    \[\left\{ \begin{array}{l} {\log _3}(x - 1) - {\log _3}y = 3\\ {\log _3}(x - 1) + {\log _3}y = 1 \end{array} \right.\]

после чего её легко решить, например, способом сложения.

Если же делимое и делитель в частном под знаком логарифма могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, формула перехода от логарифма частного к разности логарифмов выглядит так:

    \[{\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}\left| x \right| - {\log _a}\left| y \right|\]

Таким образом, в общем случае логарифм частного равен разности логарифмов модулей делимого и делителя.

Например, в выражении

    \[{\log _5}\frac{x}{y}\]

область допустимых значений —

    \[\frac{x}{y} > 0, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x > 0,\\ y > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x < 0,\\ y < 0. \end{array} \right. \end{array} \right.\]

Поэтому при переходе от логарифма частного к разности логарифмов переменные нужно записывать под знаком модуля:

    \[{\log _5}\frac{x}{y} = {\log _5}\left| x \right| - {\log _5}\left| y \right|.\]

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *