Решение логарифмических уравнений

Решение логарифмических уравнений продолжим рассмотрением способа, основанного на применении монотонности функций.

Этот способ базируется на двух утверждениях.

I. Если в уравнении

    \[f(x) = a\]

функция f(x) возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение на этом промежутке может иметь не более одного корня.

II. Если в уравнении

    \[f(x) = g(x)\]

функция f(x) возрастает на некотором промежутке, а функция g(x) на этом промежутке убывает (или наоборот), то это уравнение на этом промежутке может иметь не более одного корня.

Рассмотрим решение логарифмических уравнений  с помощью использования возрастания и убывания функций на конкретных примерах.

    \[1){\log _3}x = 16 - 5x\]

OДЗ: x>0.

Функция

    \[f(x) = {\log _3}x\]

- возрастающая, функция g(x)=16-5x — убывающая. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Находим его подбором: x=3.

Ответ: 3.

    \[2){\log _{0,7}}x = {\log _{12}}x\]

OДЗ: x>0.

Функция

    \[f(x) = {\log _{0,7}}x\]

убывающая,

    \[g(x) = {\log _{12}}x\]

- возрастающая. Следовательно, уравнение может иметь единственный корень. Находим его подбором: x=1.

Ответ: 1.

    \[3){2^x} = 41 - 9 \cdot {\log _5}x\]

OДЗ: x>0.

Функция

    \[f(x) = {2^x}\]

- возрастающая, функция

    \[g(x) = 41 - 9 \cdot {\log _5}x\]

- убывающая. Поэтому данное уравнение может иметь не более одного корня. Подбором находим, что x=5.

Ответ: 5.

    \[4){\log _7}x = 3 - 2x - {x^2}\]

OДЗ: x>0.

Функция

    \[f(x) = {\log _7}x\]

- возрастающая. Квадратичная функция g(x)=3-2x-x² возрастает при x∈(-∞; -1) и убывает при x∈(-1;∞), то есть на ОДЗ g(x) убывает. Значит, данное уравнение имеет единственный корень либо не имеет корней. Подбором находим x=1.

Ответ: 1.

    \[5){\log _2}x = \frac{8}{x}\]

OДЗ: x>0.

Функция

    \[f(x) = {\log _2}x\]

- возрастающая. Функция

    \[g(x) = \frac{8}{x}\]

убывает на ОДЗ. Таким образом, это уравнение имеет не более одного корня. Подбираем его: x=4.

Ответ: 4.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>