Примеры решения простейших логарифмических уравнений

Рассмотрим примеры решения простейших логарифмических уравнений.

    \[1){\log _{0,5}}(3x - 2) = - 2\]

ОДЗ: 3x-2>0.

Пока её не ищем.

Далее,

    \[{\log _{0,5}}(3x - 2) = {\log _{0,5}}{(0,5)^{ - 2}}\]

    \[3x - 2 = {(0,5)^{ - 2}}\]

Возведём 0,5 в степень -2:

    \[{(0,5)^{ - 2}} = {(\frac{5}{{10}})^{ - 2}} = {(\frac{{10}}{5})^2} = {2^2} = 4,\]

    \[3x - 2 = 4\]

Так как 3x-2=4>0, то условие 3x-2>0 выполняется автоматически, то есть посторонние корни в ходе решения данного уравнения не появятся, и неравенство из ОДЗ можно не решать.

    \[3x = 4 + 2\]

    \[3x = 6\]

    \[x = 2\]

Ответ:2.

    \[2){\log _4}({x^2} + 15x) = 2\]

Запишем ОДЗ, но искать её пока не будем:

ОДЗ: x²+15x>0.

    \[{\log _4}({x^2} + 15x) = {\log _4}{4^2}\]

    \[{x^2} + 15x = {4^2}\]

Так как x²+15x=16>0, то условие x²+15x>0 выполняется автоматически и ОДЗ можно не искать.

    \[{x^2} + 15x - 16 = 0\]

Корни уравнения можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

    \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - 15\\ {x_1} \cdot {x_2} = - 16 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = - 16,{x_2} = 1.\]

Ответ: -16;1.

    \[3){\log _{x + 1}}(2{x^2} + 5x - 3) = 2\]

ОДЗ записываем, но пока не решаем:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + 5x - 3 > 0,\\ x + 1 > 0,\\ x + 1 \ne 1. \end{array} \right.\]

Далее

    \[{\log _{x + 1}}(2{x^2} + 5x - 3) = {\log _{x + 1}}{(x + 1)^2}\]

    \[2{x^2} + 5x - 3 = {(x + 1)^2}\]

Так как x+1>0, то и (x+1)²>0, поэтому условие 2x²+5x-3>0 выполняется автоматически и первое неравенство можно не решать. Таким образом, для нахождения ОДЗ решаем систему из двух неравенств:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x + 1 > 0\\ x + 1 \ne 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 1\\ x \ne 0 \end{array} \right.\]

Возвращаемся к уравнению. Правая часть — квадрат суммы:

    \[2{x^2} + 5x - 3 = {x^2} + 2x + 1\]

    \[{x^2} + 3x - 4 = 0\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - 3\\ {x_1} \cdot {x_2} = - 4 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = - 4,{x_2} = 1.\]

Первый корень не входит в ОДЗ.

Ответ:1.

    \[4){\log _x}128 = 7\]

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right.\]

По определению логарифма,

    \[{x^7} = {2^7}\]

    \[x = 2\]

Ответ: 2.

    \[5){\log _{3 - x}}16 = 4\]

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3 - x > 0\\ 3 - x \ne 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 3\\ x \ne 2 \end{array} \right.\]

    \[{(3 - x)^4} = 16\]

    \[\left[ \begin{array}{l} 3 - x = 2\\ 3 - x = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 5 \end{array} \right.\]

ОДЗ удовлетворяет только x=1.

Ответ: 1.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *