Замена переменной в логарифмических уравнениях

Замена переменной в логарифмических уравнениях в ряде случаев позволяет упростить решение. Самый распространённый пример введения вспомогательной переменной — логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным — мы уже рассмотрели.

Замена переменной в уравнении, содержащем логарифмы в знаменателе, даёт возможность от логарифмического уравнения перейти к дробному рациональному.

Пример.

$1)\frac{1}{{5 - \lg x}} + \frac{2}{{1 + \lg x}} = 1$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ 5 - \lg x \ne 0;\\ 1 + \lg x \ne 0; \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ \lg x \ne 5;\\ \lg x \ne - 1. \end{array} \right.$

Пусть lgx=t, t≠5, t≠-1. Тогда имеем дробное рациональное уравнение

$\frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} = 1$

$\frac{{{1^{\backslash (1 + t)}}}}{{5 - t}} + \frac{{{2^{\backslash (5 - t)}}}}{{1 + t}} - {1^{\backslash (1 + t)(5 - t)}} = 0$

$1 + t + 2(5 - t) - (5 - t + 5t - {t^2}) = 0$

$1 + t + 10 - 2t - 5 + t - 5t + {t^2} = 0$

${t^2} - 5t + 6 = 0$

${t_1} = 2;{t_2} = 3$

Возвращаемся к исходной переменной

$\lg x = 2;\lg x = 3$

и решаем простейшие логарифмические уравнения:

${x_1} = {10^2};{x_2} = {10^3}$

${x_1} = 100;{x_2} = 1000$

Ответ: 100; 1000.

В следующем примере замена переменной не столь очевидна.

$2)\lg (\lg x) + \lg (\lg {x^3} - 2) = 0$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ \lg x > 0;\\ \lg {x^3} - 2; \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ \lg x > 0;\\ \lg x > \frac{2}{3}; \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ \lg x > \frac{2}{3} \end{array} \right.$