Замена переменной в логарифмических уравнениях

Замена переменной в логарифмических уравнениях в ряде случаев позволяет упростить решение. Самый распространённый пример введения вспомогательной переменной — логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным — мы уже рассмотрели.

Замена переменной в уравнении, содержащем логарифмы в знаменателе, даёт возможность  от логарифмического уравнения перейти к дробному рациональному.

Пример.

    \[1)\frac{1}{{5 - \lg x}} + \frac{2}{{1 + \lg x}} = 1\]

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ 5 - \lg x \ne 0;\\ 1 + \lg x \ne 0; \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ \lg x \ne 5;\\ \lg x \ne - 1. \end{array} \right.\]

Пусть lgx=t, t≠5, t≠-1. Тогда имеем дробное рациональное уравнение

    \[\frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} = 1\]

    \[\frac{{{1^{\backslash (1 + t)}}}}{{5 - t}} + \frac{{{2^{\backslash (5 - t)}}}}{{1 + t}} - {1^{\backslash (1 + t)(5 - t)}} = 0\]

    \[1 + t + 2(5 - t) - (5 - t + 5t - {t^2}) = 0\]

    \[1 + t + 10 - 2t - 5 + t - 5t + {t^2} = 0\]

    \[{t^2} - 5t + 6 = 0\]

    \[{t_1} = 2;{t_2} = 3\]

Возвращаемся к исходной переменной

    \[\lg x = 2;\lg x = 3\]

и решаем простейшие логарифмические уравнения:

    \[{x_1} = {10^2};{x_2} = {10^3}\]

    \[{x_1} = 100;{x_2} = 1000\]

Ответ: 100; 1000.

В следующем примере замена переменной не столь очевидна.

    \[2)\lg (\lg x) + \lg (\lg {x^3} - 2) = 0\]

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ \lg x > 0;\\ \lg {x^3} - 2; \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ \lg x > 0;\\ \lg x > \frac{2}{3}; \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0;\\ \lg x > \frac{2}{3} \end{array} \right.\]

(достаточно довести нахождение ОДЗ до этого момента).

После вынесения показателя степени за знак логарифма

    \[\lg (\lg x) + \lg (3\lg x - 2) = 0\]

удобно ввести новую переменную: пусть lgx=t, t>2/3. Имеем:

    \[\lg t + \lg (3t - 2) = 0\]

Сумма логарифмов равна логарифму произведения

    \[\lg (t \cdot (3t - 2)) = 0\]

Отсюда, по определению логарифма,

    \[t \cdot (3t - 2) = {10^0}\]

    \[3{t^2} - 2t - 1 = 0\]

    \[D = {b^2} - 4ac = {( - 2)^2} - 4 \cdot 3 \cdot ( - 1) = 16,\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{2 \pm 4}}{6}\]

    \[{t_1} = 1;{t_2} = - \frac{1}{3}\]

Второй корень не удовлетворяет условию t>2/3.

Выполняем обратную замену:

    \[\lg x = 1\]

    \[x = 10\]

Ответ: 10.

Замена переменной также используется при логарифмировании. Этот способ решения логарифмических уравнений мы рассмотрим позже.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *