Показательные уравнения с примерами

Продолжаем изучать показательные уравнения с примерами решений. В прошлый раз мы рассмотрели однородные показательные уравнения первой степени. Переходим к показательным уравнениям, которые содержат ровно две степени с разными основаниями, показатели которых — противоположные выражения (то есть, отличаются только знаками):

${a^{f(x)}} = {b^{ - f(x)}},$

где a и b — положительные числа, отличные от единицы.Самый удобный способ решения таких уравнений — от одной степени взять основание, от другой — показатель, и умножить обе части на эту новую степень:

${a^{f(x)}} = {b^{ - f(x)}}\_\_\_\left| { \cdot {b^{f(x)}}} \right. \ne 0$

(умножение на степень, основание которой — положительное число, не ведёт к потере корней уравнения).

${a^{f(x)}} \cdot {b^{f(x)}} = {b^{ - f(x)}} \cdot {b^{f(x)}}$

По свойствам степеней

${(a \cdot b)^{f(x)}} = {(a \cdot b)^{ - f(x) + f(x)}}$

${(a \cdot b)^{f(x)}} = {(a \cdot b)^0}$

${(a \cdot b)^{f(x)}} = 1$

Единицу можно представить в виде степени с любым основанием, в том числе, и с основанием a∙b:

${(a \cdot b)^{f(x)}} = {(a \cdot b)^0}$

Остаётся приравнять показатели:

$f(x) = 0$

(Если преобразовать правую часть уравнения

${a^{f(x)}} = \frac{1}{{{b^{f(x)}}}},$

получим однородное показательное уравнение первой степени. Дальнейшее решение практически совпадает с приведённым выше).

Рассмотрим на примерах, как решаются показательные уравнения такого вида.

$1){9^{4x - 10}} = {11^{10 - 4x}}$

ОДЗ: x∈R.

${9^{4x - 10}} = {11^{10 - 4x}}\_\_\_\left| { \cdot {{11}^{4x - 10}}} \right. \ne 0$

${9^{4x - 10}} \cdot {11^{4x - 10}} = {11^{10 - 4x}} \cdot {11^{4x - 10}}$

${(9 \cdot 11)^{4x - 10}} = {11^{10 - 4x + 4x - 10}}$

${99^{4x - 10}} = 1$

${99^{4x - 10}} = {99^0}$

$4x - 10 = 0$

$x = 2,5$

Ответ: 2,5.

$2){4^{2{x^2} + 5x - 3}} = {5^{3 - 5x - 2{x^2}}}$

ОДЗ:x∈R.

${4^{2{x^2} + 5x - 3}} = {5^{3 - 5x - 2{x^2}}}\_\_\_\left| \cdot \right.{5^{2{x^2} + 5x - 3}} \ne 0$

${20^{2{x^2} + 5x - 3}} = 1$

${20^{2{x^2} + 5x - 3}} = {20^0}$

Приравняв показатели, приходим к квадратному уравнению

$2{x^2} + 5x - 3 = 0,$

корни которого —

${x_1} = - 3;{x_2} = 0,5$

Ответ: -3; -0,5.

$3){(\frac{2}{9})^{16 - {x^2}}} = {3^{{x^2} - 16}}$

ОДЗ: x∈R.

${(\frac{2}{9})^{16 - {x^2}}} = {3^{{x^2} - 16}}\_\_\_\left| { \cdot {3^{16 - {x^2}}}} \right. \ne 0$

${(\frac{{2 \cdot 3}}{9})^{16 - {x^2}}} = {3^{{x^2} - 16 + 16 - {x^2}}}$

${(\frac{2}{3})^{16 - {x^2}}} = 1$

${(\frac{2}{3})^{16 - {x^2}}} = {(\frac{2}{3})^0}$

$16 - {x^2} = 0$

$x = \pm 4$

Ответ:±4.

В следующий раз рассмотрим однородные показательные уравнения второго порядка (с примерами).

Добавить комментарий Отменить ответ