Показательные уравнения с примерами

Продолжаем изучать показательные уравнения с примерами решений. В прошлый раз мы рассмотрели однородные показательные уравнения первой степени. Переходим к показательным уравнениям, которые содержат ровно две степени с разными основаниями, показатели которых — противоположные выражения (то есть, отличаются только знаками):

    \[{a^{f(x)}} = {b^{ - f(x)}},\]

где a и b — положительные числа, отличные от единицы.Самый удобный способ решения таких уравнений — от одной степени взять основание, от другой — показатель, и умножить обе части на эту новую степень:

    \[{a^{f(x)}} = {b^{ - f(x)}}\_\_\_\left| { \cdot {b^{f(x)}}} \right. \ne 0\]

(умножение на степень, основание которой — положительное число, не ведёт к потере корней уравнения).

    \[{a^{f(x)}} \cdot {b^{f(x)}} = {b^{ - f(x)}} \cdot {b^{f(x)}}\]

По свойствам степеней

    \[{(a \cdot b)^{f(x)}} = {(a \cdot b)^{ - f(x) + f(x)}}\]

    \[{(a \cdot b)^{f(x)}} = {(a \cdot b)^0}\]

    \[{(a \cdot b)^{f(x)}} = 1\]

Единицу можно представить в виде степени с любым основанием, в том числе, и с основанием a∙b:

    \[{(a \cdot b)^{f(x)}} = {(a \cdot b)^0}\]

Остаётся приравнять показатели:

    \[f(x) = 0\]

(Если преобразовать правую часть уравнения

    \[{a^{f(x)}} = \frac{1}{{{b^{f(x)}}}},\]

получим однородное показательное уравнение первой степени. Дальнейшее решение практически совпадает с приведённым выше).

Рассмотрим на примерах, как решаются показательные уравнения такого вида.

    \[1){9^{4x - 10}} = {11^{10 - 4x}}\]

ОДЗ: x∈R.

    \[{9^{4x - 10}} = {11^{10 - 4x}}\_\_\_\left| { \cdot {{11}^{4x - 10}}} \right. \ne 0\]

    \[{9^{4x - 10}} \cdot {11^{4x - 10}} = {11^{10 - 4x}} \cdot {11^{4x - 10}}\]

    \[{(9 \cdot 11)^{4x - 10}} = {11^{10 - 4x + 4x - 10}}\]

    \[{99^{4x - 10}} = 1\]

    \[{99^{4x - 10}} = {99^0}\]

    \[4x - 10 = 0\]

    \[x = 2,5\]

Ответ: 2,5.

    \[2){4^{2{x^2} + 5x - 3}} = {5^{3 - 5x - 2{x^2}}}\]

ОДЗ:x∈R.

    \[{4^{2{x^2} + 5x - 3}} = {5^{3 - 5x - 2{x^2}}}\_\_\_\left| \cdot \right.{5^{2{x^2} + 5x - 3}} \ne 0\]

    \[{20^{2{x^2} + 5x - 3}} = 1\]

    \[{20^{2{x^2} + 5x - 3}} = {20^0}\]

Приравняв показатели, приходим к квадратному уравнению

    \[2{x^2} + 5x - 3 = 0,\]

корни которого —

    \[{x_1} = - 3;{x_2} = 0,5\]

Ответ: -3; -0,5.

    \[3){(\frac{2}{9})^{16 - {x^2}}} = {3^{{x^2} - 16}}\]

ОДЗ: x∈R.

    \[{(\frac{2}{9})^{16 - {x^2}}} = {3^{{x^2} - 16}}\_\_\_\left| { \cdot {3^{16 - {x^2}}}} \right. \ne 0\]

    \[{(\frac{{2 \cdot 3}}{9})^{16 - {x^2}}} = {3^{{x^2} - 16 + 16 - {x^2}}}\]

    \[{(\frac{2}{3})^{16 - {x^2}}} = 1\]

    \[{(\frac{2}{3})^{16 - {x^2}}} = {(\frac{2}{3})^0}\]

    \[16 - {x^2} = 0\]

    \[x = \pm 4\]

Ответ:±4.

В следующий раз рассмотрим однородные показательные уравнения второго порядка (с примерами).

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>