Уравнения с логарифмами

Рассмотрим уравнения с логарифмами, для решения которых используется метод оценки.

При решении уравнений методом оценки сравнивают область значений каждой из функций, стоящих в разных частях уравнения. Если для уравнения

    \[f(x) = g(x)\]

одновременно выполняются условия

    \[f(x) \ge a\]

    \[g(x) \le a,\]

то уравнение равносильно системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} f(x) = a\\ g(x) = a \end{array} \right.\]

Остаётся найти корни одного из уравнений системы и проверить, удовлетворяют ли они другому уравнению.

Примеры уравнений с логарифмами, решаемых методом оценки левой и правой части.

    \[1){\log _2}({x^2} - 8x + 24) = 16x - 2{x^2} - 29\]

ОДЗ:

    \[{x^2} - 8x + 24 > 0, \Rightarrow x \in R.\]

Под знаком логарифма стоит квадратичная функция

    \[h(x) = {x^2} - 8x + 24.\]

Её график — парабола ветвями вверх. Своё наименьшее значение функция принимает в вершине параболы

    \[{x_o} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 8}}{{2 \cdot 1}} = 4,\]

и оно равно

    \[h({x_o}) = h(4) = {4^2} - 8 \cdot 4 + 24 = 8,\]

поэтому

    \[h(x) = {x^2} - 8x + 24 \ge 8.\]

Так как основание 2>1, логарифмическая функция

    \[f(x) = {\log _2}x,\]

возрастает, следовательно, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть при x0=4 f(x) принимает своё наименьшее значение и оно равно

    \[f({x_o}) = f(4) = {\log _2}({4^2} - 8 \cdot 4 + 24) = \]

    \[ = {\log _2}8 = 3,\]

то есть

    \[f(x) = {\log _2}({x^2} - 8x + 24) \ge 3.\]

Левая часть уравнения — квадратичная функция, график — парабола ветвями вниз, в вершине достигает своего наибольшего значения:

    \[g(x) = 16x - 2{x^2} - 29,\]

    \[{x_o} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{16}}{{2 \cdot ( - 2)}} = 4,\]

    \[g({x_o}) = g(4) = 16 \cdot 4 - 2 \cdot {4^2} - 29 = 3,\]

то есть

    \[g(x) = 16x - 2{x^2} - 29 \le 3.\]

    \[\left| \begin{array}{l} {\log _2}({x^2} - 8x + 24) = 16x - 2{x^2} - 29\\ {\log _2}({x^2} - 8x + 24) \ge 3\\ 16x - 2{x^2} - 29 \le 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \]

    \[\left\{ \begin{array}{l} {\log _2}({x^2} - 8x + 24) = 3\\ 16x - 2{x^2} - 29 = 3. \end{array} \right.\]

Решаем второе уравнение:

    \[16x - 2{x^2} - 29 = 3\]

    \[2{x^2} - 16x + 32 = 0\]

    \[{x^2} - 8x + 16 = 0\]

Его единственный корень

    \[x = 4\]

является также корнем первого уравнения, а значит, исходное уравнение имеет единственный корень x=4.

Ответ: 4.

    \[2){\log _{0,9}}(arc\cos x + 1) = \sqrt[4]{{1 - {x^2}}}\]

ОДЗ:

    \[\left\{ \begin{array}{l} arc\cos x + 1 > 0\\ - 1 \le x \le 1\\ 1 - {x^2} \ge 0 \end{array} \right. \Rightarrow x \in \left[ { - 1;1} \right].\]

Так как

    \[arc\cos x \ge 0,\]

то

    \[arc\cos x + 1 \ge 1.\]

Так как 0,9<1 и функция

    \[y = {\log _{0,9}}x\]

убывает, то

    \[f(x) = {\log _{0,9}}(arc\cos x + 1) \le 0.\]

С другой стороны,

    \[g(x) = \sqrt[4]{{1 - {x^2}}} \ge 0.\]

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} {\log _{0,9}}(arc\cos x + 1) = 0\\ \sqrt[4]{{1 - {x^2}}} = 0 \end{array} \right.\]

Решим второе уравнение:

    \[\sqrt[4]{{1 - {x^2}}} = 0\]

    \[x = \pm 1\]

Проверяем, удовлетворяют ли полученные корни первому уравнению.

При x=1

    \[{\log _{0,9}}(arc\cos 1 + 1) = 0\]

    \[0 = 0\]

При x= -1

    \[{\log _{0,9}}(arc\cos ( - 1) + 1) = 0\]

    \[{\log _{0,9}}(\pi + 1) \ne 0\]

Следовательно, уравнение имеет один корень x=1.

Ответ: 1.

    \[3){\log _3}({x^2} + 9) = 2\cos \frac{x}{5}\]

ОДЗ:

    \[{x^2} + 9 \ge 0, \Rightarrow x \in R.\]

    \[{x^2} \ge 0, \Rightarrow {x^2} + 9 \ge 9, \Rightarrow {\log _3}({x^2} + 9) \ge 2.\]

    \[\cos \frac{x}{5} \le 1, \Rightarrow 2\cos \frac{x}{5} \le 2.\]

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе

    \[\left\{ \begin{array}{l} {\log _3}({x^2} + 9) = 2\\ 2\cos \frac{x}{5} = 2 \end{array} \right.\]

Решим первое уравнение:

    \[{\log _3}({x^2} + 9) = 2\]

    \[{x^2} + 9 = {3^2}\]

    \[x = 0\]

Проверяем, является ли 0 корнем второго уравнения:

    \[2\cos \frac{0}{5} = 2\]

    \[2 = 2\]

Следовательно, исходное уравнение имеет один корень x=0.

Ответ: 0.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>