Решение показательных уравнений

Решение показательных уравнений продолжим рассмотрением уравнений, содержащих степени с одинаковыми основаниями и противоположными показателями.

В общем виде показательные уравнения такого вида можно записать так:

    \[{k_1}{a^{f(x)}} + {k_2}{a^{ - f(x)}} + {k_3} = 0,\]

где

    \[a,{k_1},{k_2},{k_3} - \]

числа, причём a>0, a≠1.

Проще всего решить это уравнение сведением к квадратному. Для этого обе части уравнения умножим на степень с положительным показателем. Потери корней не происходит, так как

    \[{a^{f(x)}} > 0.\]

    \[{k_1}{a^{f(x)}} + {k_2}{a^{ - f(x)}} + {k_3} = 0\_\_\_\left| { \cdot {a^{f(x)}}} \right.\]

    \[{k_1}{a^{f(x) + f(x)}} + {k_2}{a^{ - f(x) + f(x)}} + {k_3} \cdot {a^{f(x)}} = 0\]

    \[{k_1}{a^{2f(x)}} + {k_2}{a^0} + {k_3} \cdot {a^{f(x)}} = 0\]

Так как a⁰=1, получаем показательное уравнение, сводящееся к квадратному:

    \[{k_1}{a^{2f(x)}} + {k_3} \cdot {a^{f(x)}} + {k_2} = 0.\]

Рассмотрим примеры решения уравнений такого вида.

    \[1){3^x} + {3^{2 - x}} = 10\]

Умножим почленно обе части уравнения на 3 в степени x:

    \[{3^x} + {3^{2 - x}} = 10\_\_\_\left| { \cdot {3^x}} \right.\]

    \[{3^{x + x}} + {3^{2 - x + x}} = 10 \cdot {3^x}\]

    \[{3^{2x}} + {3^2} = 10 \cdot {3^x}\]

    \[{3^{2x}} - 10 \cdot {3^x} + 9 = 0.\]

Пусть

    \[{3^x} = t,t > 0,\]

тогда

    \[{t^2} - 10t + 9 = 0\]

Корни этого квадратного уравнения — t1=9, t2=1 — оба удовлетворяют условию t>0. Возвращаясь к исходной переменной, получаем простейшие показательные уравнения:

    \[{3^x} = 9;{3^x} = 1\]

    \[{3^x} = {3^2};{3^x} = {3^0}\]

    \[x = 2;x = 0.\]

Ответ: 2; 0.

    \[2){10^{1 + {x^2}}} - {10^{1 - {x^2}}} = 99\]

Обе части уравнения умножим почленно на 10 в степени x²:

    \[{10^{1 + {x^2}}} - {10^{1 - {x^2}}} = 99\_\_\_\left| { \cdot {{10}^{{x^2}}}} \right.\]

    \[{10^{1 + {x^2} + {x^2}}} - {10^{1 - {x^2} + {x^2}}} = 99 \cdot {10^{{x^2}}}\]

    \[10 \cdot {10^{2{x^2}}} - {10^1} - 99 \cdot {10^{{x^2}}} = 0\]

Замена

    \[{10^{{x^2}}} = t,t > 0,\]

приводит к квадратному уравнению

    \[10{t^2} - 99t - 10 = 0\]

Из двух его корней — t1=10 и t2= -0,1 — только первый удовлетворяет условию t>0. Обратная замена

    \[{10^{{x^2}}} = 10\]

    \[{x^2} = 1\]

    \[x = \pm 1.\]

Ответ: ±1.

    \[3){5^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} = 6\]

Согласно основному тригонометрическому тождеству,

    \[{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1, \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\]

Отсюда

    \[{5^{{{\sin }^2}x}} + {5^{1 - {{\sin }^2}x}} = 6\_\_\_\left| \cdot \right.{5^{{{\sin }^2}x}}\]

    \[{5^{{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}x}} + {5^{1 - {{\sin }^2}x + {{\sin }^2}x}} = 6 \cdot {5^{{{\sin }^2}x}}\]

    \[{5^{2{{\sin }^2}x}} + {5^1} - 6 \cdot {5^{{{\sin }^2}x}} = 0\]

Замена

    \[{5^{{{\sin }^2}x}} = t,t > 0\]

Квадратное уравнение

    \[{t^2} - 6t + 5 = 0\]

имеет два корня t1=5 и t2=1. Оба корня удовлетворяют условию t>0. Обратная замена

    \[{5^{{{\sin }^2}x}} = 5;{5^{{{\sin }^2}x}} = 1\]

    \[{\sin ^2}x = 1;{\sin ^2}x = 0\]

    \[\sin x = \pm 1;\sin x = 0\]

Это — простейшие тригонометрические уравнения.

    \[x = \frac{\pi }{2} + \pi n,n \in Z;\]

    \[x = \pi k,k \in Z.\]

Отметим полученные семейства решений на единичной окружности:

    \[n = 0,x = \frac{\pi }{2};n = 1,x = \frac{{3\pi }}{2};\]

    \[k = 0,x = 0;k = 1,x = \pi \]

reshenie-pokazatelnyh-uravnenijМожно объединить два семейства решений в одно:

    \[x = \frac{{\pi n}}{2},n \in Z.\]

 

Ответ:

    \[x = \frac{{\pi n}}{2},n \in Z.\]

 

Степени

    \[{a^{f(x)}},{a^{ - f(x)}}\]

взаимно-обратные (их произведение равно единице). Другой способ решения таких уравнений — непосредственная замена

    \[{a^{f(x)}} = t\]

и переход к дробному рациональному уравнению

    \[{k_1}{t^2} + \frac{{{k_2}}}{t} + {k_3} = 0,\]

которое, в свою очередь, также приводится к квадратному.

В следующий раз рассмотрим примеры решения показательных уравнений с взаимно-обратными степенями, основания которых — иррациональные числа.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *