Логарифм в квадрате

Как найти, чему равен логарифм в квадрате?

Начнём с вычисления квадрата логарифма числа.

Запись с квадратом над знаком логарифма — общепринятый сокращенный вариант записи возведения логарифма в квадрат:

$\log _a^2b = {({\log _a}b)^2}$

при условии

$a > 0,a \ne 1,b > 0.$

Таким образом, чтобы вычислить логарифм в квадрате от некоторого числа по заданному основанию, надо найти, чему равен этот логарифм, и результат возвести в квадрат.

Так как квадрат любого числа является неотрицательным числом, квадрат логарифма также неотрицателен, то есть

$\log _a^2b \ge 0$

для

$a > 0,a \ne 1,b > 0.$

С учетом того, что только логарифм единицы равен нулю, логарифм в квадрате от единицы по любому основанию равен нулю:

$\log _a^21 = 0$

Следовательно,

$\log _a^2b > 0$

для

$a > 0,a \ne 1,b > 0,b \ne 1.$

Примеры.

$1)\log _5^2125 = {({\log _5}125)^2} = {3^2} = 9;$

$2)\log _3^2243 = {({\log _3}243)^2} = {5^2} = 25;$

$3)\log _{32}^2128 = {({\log _{32}}128)^2} =$

Чтобы вычислить, чему равен этот логарифм, представим его основание и число под знаком логарифма в виде степеней с одинаковым основанием:

$= {({\log _{{2^5}}}{2^7})^2} = {(\frac{7}{5})^2} = \frac{{49}}{{25}} = 1,96.$

Аналогично вычисляется десятичный логарифм в квадрате:

$4){\lg ^2}10000 = {(\lg 10000)^2} = {4^2} = 16;$

$5){\lg ^2}0,001 = {(\lg 0,001)^2} = {( - 3)^2} = 9;$

$6){\lg ^2}\sqrt[5]{{0,01}} = {(\lg \sqrt[5]{{0,01}})^2} =$

$= {(\lg {10^{ - \frac{2}{5}}})^2} = {( - \frac{2}{5})^2} = \frac{4}{{25}}.$

Натуральный логарифм в квадрате:

$7){\ln ^2}{e^9} = {(\ln {e^9})^2} = {9^2} = 81;$

$8){\ln ^2}\frac{1}{{{e^2}}} = {(\ln \frac{1}{{{e^2}}})^2} = {( - 2)^2} = 4;$

$9){\ln ^2}\sqrt e = {(\ln \sqrt e )^2} = {(\ln {e^{\frac{1}{2}}})^2} = {(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{4}.$

В следующий раз рассмотрим, как возвести в квадрат логарифм произведения, частного и степени.

Добавить комментарий Отменить ответ