Логарифм в показателе степени

Для преобразования выражений, содержащих логарифм в показателе степени числа (или выражения), используют основное логарифмическое тождество.

Рассмотрим на примерах, как упростить выражение, содержащее в показателе степени логарифмы.

$1){4^{\frac{1}{2} + {{\log }_2}5}}$

По свойству степени

${a^{m + n}} = {a^m} \cdot {a^n}$

от степени с суммой в показателе переходим к произведению степеней

$1){4^{\frac{1}{2} + {{\log }_2}5}} = {4^{\frac{1}{2}}} \cdot {4^{^{{{\log }_2}5}}} =$

От степени с рациональным показателем переходим к корню; основание степени преобразовываем, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество:

$= \sqrt 4 \cdot {({2^2})^{{{\log }_2}5}} = 2 \cdot {2^{2{{\log }_2}5}} =$

$= 2 \cdot {2^{{{\log }_2}{5^2}}} = 2 \cdot {5^2} = 50;$

$2){9^{2 - {{\log }_3}7}}$

Применим свойство степени

${a^{m - n}} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}}$

${9^{2 - {{\log }_3}7}} = \frac{{{9^2}}}{{{9^{{{\log }_3}7}}}} =$

$= \frac{{81}}{{{3^2}^{{{\log }_3}7}}} = \frac{{81}}{{{3^{{{\log }_3}{7^2}}}}} = \frac{{81}}{{{7^2}}} = \frac{{81}}{{49}} = 1\frac{{32}}{{49}};$

$3){2^{{{\log }_4}3 + {{\log }_8}5}}$

Значение выражения можно найти двумя способами.

1 способ

Логарифмы, стоящие в показатели степени, приведем к одинаковым основаниям:

${2^{{{\log }_4}3 + {{\log }_8}5}} = {2^{{{\log }_{{2^2}}}3 + {{\log }_{{2^3}}}5}} =$

показатель степени, стоящей в основании логарифма, вынесем за знак логарифма, затем внесём в показатель степени числа, стоящего под знаком логарифма:

$= {2^{\frac{1}{2}{{\log }_2}3 + \frac{1}{3}{{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}{3^{\frac{1}{2}}} + {{\log }_2}{5^{\frac{1}{3}}}}} =$

Сумма логарифмов равна логарифму произведения. Затем применим основное логарифмическое тождество:

$= {2^{{{\log }_2}({3^{\frac{1}{2}}} \cdot {5^{\frac{1}{3}}})}} = {3^{\frac{1}{2}}} \cdot {5^{\frac{1}{3}}} = \sqrt 3 \cdot \sqrt[3]{5} =$

$= \sqrt[6]{{{3^3} \cdot {5^2}}} = \sqrt[6]{{675}};$

2 способ:

Перейдем к произведению степеней, затем каждый множитель преобразуем отдельно:

${2^{{{\log }_4}3 + {{\log }_8}5}} = {2^{{{\log }_4}3}} \cdot {2^{{{\log }_8}5}} =$

$= {2^{\frac{1}{2}{{\log }_2}3}} \cdot {2^{\frac{1}{3}{{\log }_2}5}} = {({2^{{{\log }_2}3}})^{\frac{1}{2}}} \cdot {({2^{{{\log }_2}5}})^{\frac{1}{3}}} =$

$= {3^{\frac{1}{2}}} \cdot {5^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[6]{{675}};$

$4){({10^{\frac{{{{\log }_8}7}}{{{{\log }_4}7}}}} \cdot {7^{\frac{{{{\log }_{27}}10}}{{{{\log }_9}10}}}})^{{{\log }_{70}}125}} =$

Выносим показатели степеней из оснований перед логарифмами:

$= {({10^{\frac{{\frac{1}{3}{{\log }_2}7}}{{\frac{1}{2}{{\log }_2}7}}}} \cdot {7^{\frac{{\frac{1}{3}{{\log }_3}10}}{{\frac{1}{2}{{\log }_3}10}}}})^{{{\log }_{70}}125}} =$

После этого дроби можно сократить:

$= {({10^{\frac{2}{3}}} \cdot {7^{\frac{2}{3}}})^{{{\log }_{70}}125}} = {70^{\frac{2}{3}{{\log }_{70}}125}} =$

$= {70^{{{\log }_{70}}{{125}^{\frac{2}{3}}}}} = {125^{\frac{2}{3}}} = {5^{3 \cdot \frac{2}{3}}} = {5^2} = 25.$

2 комментария

Софья:

15.02.2017 в 15:35

Здравствуйте! Объясните, пожалуйста почему после примера

$= {2^{{{\log }_2}({3^{\frac{1}{2}}} \cdot {5^{\frac{1}{3}}})}} = {3^{\frac{1}{2}}} \cdot {5^{\frac{1}{3}}} = \sqrt 3 \cdot \sqrt[3]{5} =$

сделали так:

$= \sqrt[6]{{{3^3} \cdot {5^2}}} = \sqrt[6]{{675}};$

Какими формулами пользовались? Заранее, спасибо.

Ответить
- admin:
  
  15.02.2017 в 22:23
  
  Используем свойство корней
  
  $\sqrt[n]{{{a^m}}} = \sqrt[{n \cdot k}]{{{a^{m \cdot k}}}}$
  
  $\sqrt 3 \cdot\sqrt[3]{5} = \sqrt[{2 \cdot 3}]{{{3^3}}}\cdot\sqrt[{3 \cdot 2}]{{{5^2}}} = \sqrt[6]{{{3^3}\cdot{5^2}}} = \sqrt[6]{{675}}.$
  
  Можно было сделать иначе, еще на этапе степеней преобразовать:
  
  ${3^{\frac{1}{2}}}\cdot{5^{\frac{1}{3}}} = {3^{\frac{3}{6}}}\cdot{5^{\frac{2}{6}}} = {({3^3} \cdot {5^2})^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{{3^3} \cdot {5^2}}}.$
  
  Ответить

2 комментария

Добавить комментарий Отменить ответ