Решение простейших показательных неравенств

Решение простейших показательных неравенств вида

${a^x} > b$

${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}}$

основывается на свойстве показательной функции

$y = {a^x},$

которая возрастает при a>1 и убывает при 0<a<1.

Рассмотрим решение простейших показательных неравенств на конкретных примерах.

$1){10^{5x + 2}} \ge 0,001$

Приводим обе части неравенства к степеням с одинаковым основанием.

${10^{5x + 2}} \ge {10^{ - 3}}$

Так как 10>1, показательная функция

$y = {10^x}$

возрастает, знак неравенства между показателями степеней не изменяется:

$5x + 2 \ge - 3$

Это — линейное неравенство. Алгоритм решения: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$5x \ge - 3 - 2$

$5x \ge - 5\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

$x \ge - 1$

Полученное решение изобразим на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, -1 отмечаем закрашенной точкой:

Ответ: [-1; ∞).

$2){0,09^{x + 4}} > 0,027$

Приводим обе части неравенства к степеням с одинаковым основанием:

${(0,3)^{2(x + 4)}} > {(0,3)^3}$

Так как основание 0,3<1, показательная функция

$y = {(0,3)^x}$

убывает, знак неравенства между показателями степеней изменяется на противоположный:

$2(x + 4) < 3$

$2x + 8 < 3$

$2x < 3 - 8$

$2x < - 5\_\_\_\left| {:2 > 0} \right.$

$x < - 2,5$

Изобразим решение неравенства на числовой прямой. Так как неравенство строгое, -2,5 отмечается выколотой точкой:

Ответ: (-∞; -2,5).

$3){7^{2{x^2} - 4x + 3}} \le {7^{{x^2}}}$

Так как основание 7>1, показательная функция возрастает, знак неравенства между показателями не меняется:

$2{x^2} - 4x + 3 \le {x^2}$

$2{x^2} - 4x + 3 - {x^2} \le 0$

${x^2} - 4x + 3 \le 0$

Это неравенство — квадратичное. Решим его методом интервалов.

Ищем нули функции y=x²-4x+3, то есть решаем квадратное уравнение

${x^2} - 4x + 3 = 0$

Полученные корни x1=1, x2=3 отмечаем на числовой прямой (закрашенными точками, так как неравенство нестрогое):

reshit-prostejshie-pokazatelnye-neravenstva

Ответ: [1; 3].

$4){\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2}}} < \frac{{16}}{{81}}$

Приводим обе части к степеням с одинаковым основанием

${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2}}} < {(\frac{2}{3})^4}$

Так как основание 2/3 меньше единицы, показательная функция убывает, поэтому знак неравенства между показателями степеней изменяется на противоположный:

${x^2} > 4$