Простейшие показательные уравнения

Показательные уравнения — это уравнения, в которых переменная входит в показатель степени, а основание степени переменной не содержит.

Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида

где a>0, a≠1.

Так как показательная функция

строго монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1), то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента, следовательно, простейшее показательное уравнение имеет единственный корень (или не имеет корней).

При b>0 нужно представить обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием, например,

Из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует равенство показателей степеней:

Если привести степени к одинаковому основанию нельзя, для нахождения x применяем определение логарифма:

(или используя основное логарифмическое тождество:

или логарифмируя обе части по основанию a

При b<0 и при b=0 это уравнение на множестве действительных чисел не имеет решений, так как 

для всех x∈R.

Примеры решения простейших показательных уравнений

Обе части уравнения приводим к степени с основанием 5:

и приравниваем показатели:

Ответ: 3.

Обе части уравнения приводим к степени с основанием 2

и приравниваем показатели

Ответ: 1,4.

Единицу можно представить в виде степени с любым основанием и показателем 0:

Ответ: 0.

Представить обе части в виде степени с одинаковым основанием невозможно. Воспользуемся определением логарифма

Ответ:

Показательные уравнения других видов сводятся к простейшим показательным уравнениям с помощью различных преобразований либо введением вспомогательной переменной.