Переход к новому основанию логарифма

Когда требуется осуществить переход к новому основанию логарифма, пользуются одним из свойств логарифмов —

${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$

где

$c > 0,c \ne 1,a > 0,a \ne 1,b > 0$

(Для запоминания этой формулы удобно воспользоваться следующей ассоциацией: то, что вверху, идёт вверх, то, что внизу — идёт вниз.

b, стоящее вверху, под знаком логарифма, записываем снова вверху, в числителе, под знак логарифма с новым основанием.

a, стоящее внизу, в основании логарифма, записываем вниз, в знаменателе, под знак логарифма с новым основанием).

Примеры перехода к новому основанию логарифма:

$1){\log _4}11 = \frac{{{{\log }_2}11}}{{{{\log }_2}4}} = \frac{{{{\log }_2}11}}{2};$

$2){\log _5}81 = \frac{{{{\log }_3}81}}{{{{\log }_3}5}} = \frac{4}{{{{\log }_3}5}};$

$3){\log _7}125 = \frac{{{{\log }_5}125}}{{{{\log }_5}7}} = \frac{3}{{{{\log }_5}7}}.$

Перейти можно к любому новому основанию (положительному и отличному от единицы).

В том числе, любой логарифм можно представить в виде частного десятичных логарифмов:

${\log _a}b = \frac{{\lg b}}{{\lg a}}$

${\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}$

$(a > 0,a \ne 1,b > 0)$

Например,

${\log _4}9 = \frac{{\lg 9}}{{\lg 4}}$

${\log _2}6 = \frac{{\ln 6}}{{\ln 2}}.$

Частный случай этой формулы —

${\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}$

— позволяет изменить основание логарифма на число, стоящее под знаком логарифма.

${\log _{{a^n}}}{b^n} = {\log _a}b$

— дает возможность изменить основание логарифма в случае, когда оно может быть представлено в виде степени.