Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:

${\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}(xy)$

(x>0, y>0).

С помощью этого свойства в некоторых случаях можно найти, чему равна сумма логарифмов, даже если логарифм каждого слагаемого не является рациональным числом.

Например,

${\log _{18}}9 + {\log _{18}}2 = {\log _{18}}(9 \cdot 2) = {\log _{18}}18 = 1,$

${\log _{15}}5 + {\log _{15}}3 = {\log _{15}}(5 \cdot 3) = {\log _{15}}15 = 1,$

${\log _{12}}18 + {\log _{12}}8 = {\log _{12}}(18\cdot8) =$

$= {\log _{12}}144 = 2.$

Это свойство верно, в частности, и для десятичных и натуральных логарифмов.

Сумма десятичных логарифмов равна десятичному логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:

$\lg x + \lg y = \lg (xy)$

Например,

$\lg 2 + \lg 5 = \lg (2 \cdot 5) = \lg 10 = 1,$

$\lg 20 + \lg 5 = \lg (20 \cdot 5) = \lg 100 = 2,$

$\lg 125 + \lg 8 = \lg (125 \cdot 8) = \lg 1000 = 3.$

Сумма натуральных логарифмов равна натуральному логарифму произведения выражений, которые стоят под знаками логарифмов в слагаемых:

$\ln x + \ln y = \ln (xy)$

Переход от суммы логарифмов к логарифму произведения верен и в случае когда количество слагаемых больше двух:

${\log _a}{x_1} + {\log _a}{x_2} + ... + {\log _a}{x_n} =$

$= {\log _a}({x_1} \cdot {x_2} \cdot ... \cdot {x_n})$

Например,

${\log _4}\frac{2}{7} + {\log _4}35 + {\log _4}1,6 =$

$= {\log _4}\frac{{2 \cdot \mathop {\overline {35} }\limits^5 \cdot 1,6}}{{\mathop {\underline 7 }\limits_1 }} = {\log _4}16 = 2,$

$\lg 2 + \lg 25 + \lg 16 + \lg 12,5 =$

$= \lg (2 \cdot 25 \cdot 16 \cdot 12,5) = \lg 10000 = 4.$

Это свойство логарифмов широко используется при упрощении выражений, в ходе решения логарифмических уравнений и неравенств.

1 комментарий

Владимир:

03.06.2017 в 15:17

Благодарю.

Ответить

Добавить комментарий Отменить ответ