Разность логарифмов

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного от деления выражения, стоящего под знаком логарифма уменьшаемого, на выражение под знаком логарифма вычитаемого.

Формула перехода от разности логарифмов к логарифму частного:

${\log _a}x - {\log _a}y = {\log _a}\frac{x}{y}$

(x>0, y>0).

Это свойство в некоторых случаях позволяет найти разность логарифмов, даже если точные значения логарифмов уменьшаемого и вычитаемого по отдельности вычислить невозможно.

Примеры.

${\log _5}250 - {\log _5}2 = {\log _5}\frac{{250}}{2} = {\log _5}125 = 3,$

${\log _3}405 - {\log _3}5 = {\log _3}\frac{{405}}{5} = {\log _3}81 = 4,$

${\log _{11}}242 - {\log _{11}}2 = {\log _{11}}\frac{{242}}{2} =$

$= {\log _{11}}121 = 2.$

Это свойство верно, в том числе, и для десятичных и натуральных логарифмов.

Разность десятичных логарифмов равна десятичному логарифму частного от деления выражений, стоящих под знаками логарифмов уменьшаемого и вычитаемого:

$\lg x - \lg y = \lg \frac{x}{y}$

Примеры.

$\lg 40 - \lg 4 = \lg \frac{{40}}{4} = \lg 10 = 1,$

$\lg 3700 - \lg 37 = \lg \frac{{3700}}{{37}} =$

$= \lg 100 = 2,$

$\lg \frac{4}{{125}} - \lg 32 = \lg (\frac{4}{{125}}:32) =$

$= \lg \frac{{\mathop {\overline 4 }\limits^1 }}{{125 \cdot \mathop {\underline {32} }\limits_8 }} = \lg \frac{1}{{1000}} = - 3.$

Разность натуральных логарифмов равна натуральному логарифму частного от деления выражений, стоящих под знаками логарифмов уменьшаемого и вычитаемого:

$\ln x - \ln y = \ln \frac{x}{y}$

Переход от разности логарифмов к логарифму частного верен и для большего количества слагаемых:

${\log _a}x - {\log _a}y - {\log _a}z - {\log _a}k = {\log _a}\frac{x}{{yzk}}$

Например,

${\log _4}168 - {\log _4}2 - {\log _4}3 - {\log _4}7 =$

$= {\log _4}\frac{{168}}{{2 \cdot 3 \cdot 7}} = {\log _4}4 = 1.$

Переход от разности логарифмов к логарифму частного используется не только в вычислениях, но и для упрощения выражений, в ходе решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

Добавить комментарий Отменить ответ