Простейшие логарифмические уравнения

Простейшими логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

${\log _a}f(x) = c,$

где

$a > 0,a \ne 1$

Простейшие логарифмические уравнения можно решить на основании определения логарифма.

${\log _a}f(x) = c$

По определению логарифма, с — это показатель степени, в который надо возвести основание a, чтобы получить выражение f(x), стоящее под знаком логарифма, то есть

$f(x) = {a^c}$

(Легко запомнить расположение a и c с помощью такой ассоциации: то, что внизу, идёт вниз, то, что вверху — идёт вверх).

Некоторые предпочитают оформлять решение на один шаг длиннее:

${\log _a}f(x) = c$

${\log _a}f(x) = {\log _a}{a^c}$

$f(x) = {a^c}$

При решении логарифмических уравнений нужно установить область допустимых значений уравнения либо выполнить проверку найденных корней. Однако для простейших логарифмических уравнений в некоторых случаях это можно не делать.

Под знаком логарифма должно стоять положительное число: f(x)>0. Однако, поскольку

$f(x) = {a^c},$

а любая степень положительного числа a является положительным числом:

${a^c} > 0, \Rightarrow f(x) > 0.$

Поэтому посторонние корни при решении таких уравнений не появятся, и область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма можно не искать.

Если же в основании выражения присутствует переменная, без ОДЗ обойтись не получится.

${\log _{a(x)}}f(x) = c$

${\log _{a(x)}}f(x) = {\log _{a(x)}}{(a(x))^c}$

$f(x) = {(a(x))^c}$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) > 0,\\ a(x) > 0,\\ a(x) \ne 1. \end{array} \right.$

Но и в этом случае, так как

$a(x) > 0,$

то и

${(a(x))^c} > 0, \Rightarrow f(x) > 0,$

и первое из условий выполняется автоматически. Следовательно, для нахождения ОДЗ достаточно решить систему из двух неравенств:

$\left\{ \begin{array}{l} a(x) > 0,\\ a(x) \ne 1. \end{array} \right.$

В следующий раз рассмотрим примеры решения простейших логарифмических уравнений.

Добавить комментарий Отменить ответ