Примеры решения простейших логарифмических уравнений

Рассмотрим примеры решения простейших логарифмических уравнений.

$1){\log _{0,5}}(3x - 2) = - 2$

ОДЗ: 3x-2>0.

Пока её не ищем.

Далее,

${\log _{0,5}}(3x - 2) = {\log _{0,5}}{(0,5)^{ - 2}}$

$3x - 2 = {(0,5)^{ - 2}}$

Возведём 0,5 в степень -2:

${(0,5)^{ - 2}} = {(\frac{5}{{10}})^{ - 2}} = {(\frac{{10}}{5})^2} = {2^2} = 4,$

$3x - 2 = 4$

Так как 3x-2=4>0, то условие 3x-2>0 выполняется автоматически, то есть посторонние корни в ходе решения данного уравнения не появятся, и неравенство из ОДЗ можно не решать.

$3x = 4 + 2$

$3x = 6$

$x = 2$

Ответ:2.

$2){\log _4}({x^2} + 15x) = 2$

Запишем ОДЗ, но искать её пока не будем:

ОДЗ: x²+15x>0.

${\log _4}({x^2} + 15x) = {\log _4}{4^2}$

${x^2} + 15x = {4^2}$

Так как x²+15x=16>0, то условие x²+15x>0 выполняется автоматически и ОДЗ можно не искать.

${x^2} + 15x - 16 = 0$

Корни уравнения можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - 15\\ {x_1} \cdot {x_2} = - 16 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = - 16,{x_2} = 1.$

Ответ: -16;1.

$3){\log _{x + 1}}(2{x^2} + 5x - 3) = 2$

ОДЗ записываем, но пока не решаем:

$\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + 5x - 3 > 0,\\ x + 1 > 0,\\ x + 1 \ne 1. \end{array} \right.$

${\log _{x + 1}}(2{x^2} + 5x - 3) = {\log _{x + 1}}{(x + 1)^2}$

$2{x^2} + 5x - 3 = {(x + 1)^2}$

Так как x+1>0, то и (x+1)²>0, поэтому условие 2x²+5x-3>0 выполняется автоматически и первое неравенство можно не решать. Таким образом, для нахождения ОДЗ решаем систему из двух неравенств:

$\left\{ \begin{array}{l} x + 1 > 0\\ x + 1 \ne 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 1\\ x \ne 0 \end{array} \right.$