Если перед логарифмом стоит число

Если перед логарифмом стоит число, как можно преобразовать это выражение?

Если перед логарифмом стоит число, это число можно записать в показатель степени выражения под знаком логарифма:

$p \cdot {\log _a}x = {\log _a}{x^p}$

(x>0).

Например,

$2{\log _7}9 = {\log _7}{9^2} = {\log _7}81;$

$\frac{1}{2}{\log _3}36 = {\log _3}{36^{\frac{1}{2}}} = {\log _3}\sqrt {36} = {\log _3}6;$

$- 8\lg \sqrt[4]{{\frac{1}{5}}} = \lg {(\sqrt[4]{{\frac{1}{5}}})^{ - 8}} = \lg {(\frac{1}{5})^{ - \frac{8}{4}}} =$

$= \lg {5^2} = \lg 25.$

Вместе с суммой логарифмов и разностью логарифмов это свойство часто встречается при упрощении выражений с логарифмами, при решении логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

А как умножить число на логарифм в квадрате? В кубе?

Если число стоит перед n-й степенью логарифма, то в показатель степени можно записать корень n-й степени из этого числа (при условии, что такой корень существует):

${\rm{p}} \cdot {\rm{log}}_a^n x = {\rm{log}}_a^n x^{\sqrt[n]{p}} .$