Уравнения с логарифмами

Рассмотрим уравнения с логарифмами, для решения которых используется метод оценки.

При решении уравнений методом оценки сравнивают область значений каждой из функций, стоящих в разных частях уравнения. Если для уравнения

$f(x) = g(x)$

одновременно выполняются условия

$f(x) \ge a$

$g(x) \le a,$

то уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = a\\ g(x) = a \end{array} \right.$

Остаётся найти корни одного из уравнений системы и проверить, удовлетворяют ли они другому уравнению.

Примеры уравнений с логарифмами, решаемых методом оценки левой и правой части.

$1){\log _2}({x^2} - 8x + 24) = 16x - 2{x^2} - 29$

ОДЗ:

${x^2} - 8x + 24 > 0, \Rightarrow x \in R.$

Под знаком логарифма стоит квадратичная функция

$h(x) = {x^2} - 8x + 24.$

Её график — парабола ветвями вверх. Своё наименьшее значение функция принимает в вершине параболы

${x_o} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 8}}{{2 \cdot 1}} = 4,$

и оно равно

$h({x_o}) = h(4) = {4^2} - 8 \cdot 4 + 24 = 8,$

поэтому

$h(x) = {x^2} - 8x + 24 \ge 8.$

Так как основание 2>1, логарифмическая функция

$f(x) = {\log _2}x,$

возрастает, следовательно, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть при x0=4 f(x) принимает своё наименьшее значение и оно равно

$f({x_o}) = f(4) = {\log _2}({4^2} - 8 \cdot 4 + 24) =$

$= {\log _2}8 = 3,$

то есть

$f(x) = {\log _2}({x^2} - 8x + 24) \ge 3.$

Левая часть уравнения — квадратичная функция, график — парабола ветвями вниз, в вершине достигает своего наибольшего значения:

$g(x) = 16x - 2{x^2} - 29,$

${x_o} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{16}}{{2 \cdot ( - 2)}} = 4,$

$g({x_o}) = g(4) = 16 \cdot 4 - 2 \cdot {4^2} - 29 = 3,$

то есть

$g(x) = 16x - 2{x^2} - 29 \le 3.$

$\left| \begin{array}{l} {\log _2}({x^2} - 8x + 24) = 16x - 2{x^2} - 29\\ {\log _2}({x^2} - 8x + 24) \ge 3\\ 16x - 2{x^2} - 29 \le 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow$