Логарифм в степени -1

Как преобразовать выражение, содержащее логарифм в степени -1?

${a^{ - 1}} = \frac{1}{a},$

то

$\log _a^{ - 1}b = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}$

$\frac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a$

Таким образом, логарифм в минус первой степени может быть преобразован как

$\log _a^{ - 1}b = \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a$

Например,

$\log _2^{ - 1}3 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = {\log _3}2$

$\log _5^{ - 1}9 = \frac{1}{{{{\log }_5}9}} = {\log _9}5$

$\log _8^{ - 1}12 = \frac{1}{{{{\log }_8}12}} = {\log _{12}}8$

В частности, десятичный логарифм в степени -1:

${\lg ^{ - 1}}a = \frac{1}{{\lg a}} = {\log _a}10$

$\log _a^{ - 1}10 = \frac{1}{{{{\log }_a}10}} = \lg a$

Натуральный логарифм в степени -1:

${\ln ^{ - 1}}a = \frac{1}{{\ln a}} = {\log _a}e$

$\log _a^{ - 1}e = \frac{1}{{{{\log }_a}e}} = \ln a$

Например,

${\lg ^{ - 1}}5 = \frac{1}{{\lg 5}} = {\log _5}10$

$\log _4^{ - 1}10 = \frac{1}{{{{\log }_4}10}} = \lg 4$

${\ln ^{ - 1}}2 = \frac{1}{{\ln 2}} = {\log _2}e$

$\log _6^{ - 1}e = \frac{1}{{{{\log }_6}e}} = \ln 6.$