Логарифм с корнем в основании

Как преобразовать логарифм с корнем в основании?

Для этого следует корень представить в виде степени с рациональным показателем и показатель степени вынести за знак логарифма.

Схематически преобразование логарифма с корнем в основании можно изобразить так:

${\log _{\sqrt[k]{{{a^n}}}}}{b^m} = {\log _{{a^{\frac{n}{k}}}}}{b^m} =$

$= \frac{m}{{\frac{n}{k}}}{\log _a}b = \frac{{mk}}{n}{\log _a}b$

В частности, если показатель степени, стоящей под знаком логарифма, равен 1:

${\log _{\sqrt[k]{{{a^n}}}}}b = {\log _{{a^{\frac{n}{k}}}}}b =$

$= \frac{1}{{\frac{n}{k}}}{\log _a}b = \frac{k}{n}{\log _a}b$

Примеры.

$1){\log _{\sqrt[5]{{{2^3}}}}}7 = {\log _{{2^{\frac{3}{5}}}}}7 = \frac{5}{3}{\log _2}7,$

$2){\log _{\sqrt[3]{{49}}}}625 = {\log _{\sqrt[3]{{{7^2}}}}}{5^4} = {\log _{{7^{\frac{2}{3}}}}}{5^4} =$

$= \frac{4}{{\frac{2}{3}}}{\log _7}5 = \frac{{4 \cdot 3}}{2}{\log _7}5 = 6{\log _7}5,$

$3){\log _{\sqrt[4]{{243}}}}36 = {\log _{\sqrt[4]{{{3^5}}}}}{6^2} = {\log _{{3^{\frac{5}{4}}}}}{6^2} =$

$= \frac{2}{{\frac{5}{4}}}{\log _3}6 = \frac{{2 \cdot 4}}{5}{\log _3}6 = \frac{{8}}{5}{\log _3}6,$

$4){\log _{\sqrt {11} }}8 = {\log _{{{11}^{\frac{1}{2}}}}}8 =$

$= \frac{2}{1}{\log _{11}}8 = 2{\log _{11}}8,$

$5){\log _{\sqrt[9]{{{a^5}}}}}b = {\log _{{a^{\frac{5}{9}}}}}b =$

$= \frac{1}{{\frac{5}{9}}}{\log _a}b = \frac{9}{5}{\log _a}b,$

(a>0, a≠1, b>0).

После преобразования корня в основании логарифма в степень с дробным показателем и вынесения этой степени за знак логарифма, число можно внести в показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма.

Например,

${\log _{\sqrt[3]{4}}}10 = {\log _{\sqrt[3]{{{2^2}}}}}10 = {\log _{{2^{\frac{2}{3}}}}}10 =$

$= \frac{1}{{\frac{2}{3}}}{\log _2}10 = \frac{3}{2}{\log _2}10 = {\log _2}{10^{\frac{3}{2}}} =$

$= {\log _2}\sqrt {{{10}^3}} = {\log _2}\sqrt {1000} .$

Добавить комментарий Отменить ответ