Методы решения показательных уравнений

Продолжаем изучать методы решения показательных уравнений. В прошлый раз мы рассмотрели уравнения, содержащие взаимно-обратные степени с одинаковыми основаниями.

Перейдём к взаимно-обратным степеням с одинаковыми показателями и иррациональными основаниями.

$1){(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } )^x} + {(\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } )^x} = 18$

ОДЗ: x∈R.

Докажем, что основания степеней — взаимно-обратные числа:

$\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } \cdot \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } =$

$= \sqrt {(9 - 4\sqrt 5 ) \cdot (9 + 4\sqrt 5 )} =$

$= \sqrt {{9^2} - {{(4\sqrt 5 )}^2}} = \sqrt {81 - {4^2} \cdot {{(\sqrt 5 )}^2}} =$

$= \sqrt {81 - 16 \cdot 5} = \sqrt {81 - 80} = \sqrt 1 = 1.$

То есть,

$\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } = \frac{1}{{\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}.$

Теперь введём вспомогательную переменную. Пусть

${(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } )^x} = t,t > 0,$

тогда

${(\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } )^x} = \frac{1}{t}.$

Получили дробное рациональное уравнение

$t + \frac{1}{t} = 18$

Так как t>0, можем умножить обе части уравнения на t:

$t + \frac{1}{t} = 18\_\_\_\left| { \cdot t} \right.$

${t^2} + 1 = 18t$

${t^2} - 18t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение:

$D = {b^2} - 4ac = {( - 18)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 320,$

${t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{18 \pm \sqrt {320} }}{2} =$

$= \frac{{18 \pm \sqrt {64 \cdot 5} }}{2} = \frac{{18 \pm 8\sqrt 5 }}{2} = \frac{{2(9 \pm 4\sqrt 5 )}}{2} =$

$= 9 \pm 4\sqrt 5 ,$

(здесь удобнее было бы найти D/4)

${t_1} = 9 - 4\sqrt 5 ;{t_2} = 9 + 4\sqrt 5 .$

Оба корня удовлетворяют условию t>0.Обратная замена

$1){(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } )^x} = 9 - 4\sqrt 5$

${(9 - 4\sqrt 5 )^{\frac{x}{2}}} = {(9 - 4\sqrt 5 )^1}$

$\frac{x}{2} = 1$

$x = 2$

$2){(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } )^x} = 9 + 4\sqrt 5$

${(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } )^x} = \frac{1}{{9 - 4\sqrt 5 }}$

${(9 - 4\sqrt 5 )^{\frac{x}{2}}} = {(9 - 4\sqrt 5 )^{ - 1}}$

$\frac{x}{2} = - 1$

$x = - 2$

Ответ: ±2.

$2){(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x + 1}} + {(2 - \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x - 1}} =$

$= \frac{4}{{2 - \sqrt 3 }}.$

ОДЗ: x∈R.

Воспользуемся свойствами степеней

${a^{m + n}} = {a^m} \cdot {a^n},{a^{m - n}} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}},$

получим

${(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x + 1}} = {(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} \cdot (2 + \sqrt 3 ),$

${(2 - \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x - 1}} = \frac{{{{(2 - \sqrt 3 )}^{{x^2} - 2x}}}}{{2 - \sqrt 3 }}.$

Так как

$(2 + \sqrt 3 ) \cdot (2 - \sqrt 3 ) = {2^2} - {(\sqrt 3 )^2} = 4 - 1 = 1,$

основания степеней — взаимно-обратные числа, а значит,

$2 - \sqrt 3 = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}.$

Замена

${(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} = t,t > 0,$

тогда

${(2 - \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} = \frac{1}{t}.$

Пришли к уравнению

$(2 + \sqrt 3 ) \cdot t + \frac{1}{{(2 - \sqrt 3 ) \cdot t}} = \frac{4}{{2 - \sqrt 3 }}$

Умножив обе части уравнения на

${(2 - \sqrt 3 ) \cdot t}$

$(2 + \sqrt 3 ) \cdot t \cdot (2 - \sqrt 3 ) \cdot t + \frac{{(2 - \sqrt 3 ) \cdot t}}{{(2 - \sqrt 3 ) \cdot t}} =$

$= \frac{{4 \cdot (2 - \sqrt 3 ) \cdot t}}{{2 - \sqrt 3 }},$

приходим к квадратному уравнению

${t^2} + 1 = 4t$

${t^2} - 4t + 1 = 0$

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 4}}{2})^2} - 1 \cdot 1 = 3,$

${t_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{\frac{4}{2} \pm \sqrt 3 }}{1} = 2 \pm \sqrt 3 .$

${t_1} = 2 + \sqrt 3 ,{t_2} = 2 - \sqrt 3 .$

Оба корня удовлетворяют условию t>0. Обратная замена

$1){(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} = 2 + \sqrt 3$

${x^2} - 2x = 1$

${x^2} - 2x - 1 = 0$

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 2}}{2})^2} - 1 \cdot ( - 1) = 2,$

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{\frac{2}{2} \pm \sqrt 2 }}{1} = 1 \pm \sqrt 2 .$

$2){(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} = 2 - \sqrt 3$

${(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }}$

${(2 + \sqrt 3 )^{{x^2} - 2x}} = {(2 - \sqrt 3 )^{ - 1}}$

${x^2} - 2x = - 1$

${x^2} - 2x + 1 = 0$

${(x - 1)^2} = 0$

$x = 1.$

Ответ:

$1 \pm \sqrt 2 ;1.$

Добавить комментарий Отменить ответ