Логарифмы | Все о логарифмах

Решить показательное уравнение

Рассмотрим на примерах, как решить показательное уравнение методом введения параметра. Иногда этот приём позволяет преобразовать нестандартное уравнение, приводя его к понятному виду, например, к квадратному уравнению.

$1)(x + 1) \cdot {25^{x - 0,5}} - (5x + 7) \cdot {5^x} + 50 = 0$

(далее…)

Логарифмические уравнения. Примеры введения параметра

Продолжаем рассматривать логарифмические уравнения, Примеры введения параметра — тема, которую мы обсудим в этот раз.

При решении нестандартных уравнений с логарифмами введение параметра может помочь привести уравнение к знакомому виду.

$1)x\log _2^2(x - 2) + 4(x - 1){\log _2}(x - 2) - 16 =$

$= 0$

ОДЗ: x>2.

Обозначим

${\log _2}(x - 2) = t,$

(далее…)

Примеры показательных уравнений

Рассмотрим примеры показательных уравнений, при решении которых применяется способ оценки правой и левой частей уравнения.

(далее…)

Уравнения с логарифмами

Рассмотрим уравнения с логарифмами, для решения которых используется метод оценки.

При решении уравнений методом оценки сравнивают область значений каждой из функций, стоящих в разных частях уравнения. Если для уравнения

$f(x) = g(x)$

одновременно выполняются условия

$f(x) \ge a$

$g(x) \le a,$

то уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = a\\ g(x) = a \end{array} \right.$

Остаётся найти корни одного из уравнений системы и проверить, удовлетворяют ли они другому уравнению.

(далее…)

Решение логарифмических уравнений

Решение логарифмических уравнений продолжим рассмотрением способа, основанного на применении монотонности функций.

Этот способ базируется на двух утверждениях.

I. Если в уравнении

$f(x) = a$

функция f(x) возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение на этом промежутке может иметь не более одного корня.

(далее…)

Способы решения показательных уравнений

Продолжаем рассматривать способы решения показательных уравнений. Использование свойств функций в решении показательных уравнений начнём с применения монотонности функций.

Способ решения уравнений, связанный с возрастанием и убыванием функций, основан на двух утверждениях.

I. Если в уравнении

$f(x) = a$

(далее…)

Как решать показательные уравнения

Рассмотрим, как решать показательные уравнения, содержащие несколько степеней с двумя различными основаниями, у которых в показателях соответственно равны коэффициенты при переменных.

Возможный вариант решения уравнений — вынесение общего множителя за скобки.

$1){3^{x + 3}} - 5 \cdot {3^{x + 1}} - {5^{x + 2}} + 3 \cdot {5^{x + 1}} = 2 \cdot {3^x}$

ОДЗ: x∈R.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. Удобнее разнести их по разные стороны:

${3^{x + 3}} - 5 \cdot {3^{x + 1}} - 2 \cdot {3^x} = {5^{x + 2}} - 3 \cdot {5^{x + 1}}$

(далее…)