Когда логарифм меньше нуля

Когда логарифм меньше нуля?

Если основание логарифмической функции

    \[y = {\log _a}x\]

— число, большее единицы, то функция принимает отрицательные значения при 0<x<1:

logarifm-menshe-nulya

    \[\left. \begin{array}{l} a > 1\\ 0 < x < 1 \end{array} \right\} \Rightarrow {\log _a}x < 0\]

Если в основании стоит число, меньшее единицы (положительное), то логарифмическая функция принимает отрицательные значения при x>1:

logarifm-menshe-0

    \[\left. \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ x > 1 \end{array} \right\} \Rightarrow {\log _a}x < 0\]

Следовательно, логарифм меньше нуля, если число в основании логарифма и число под знаком логарифма одно больше, другое — меньше единицы.

Таким образом, чтобы определить, является логарифм отрицательным или положительным числом, надо сравнить основание и число под знаком логарифма с единицей.

Например,

    \[{\log _5}\frac{2}{7} < 0\]

    \[{\log _{3,4}}0,95 < 0\]

    \[{\log _{\sqrt {17} }}\frac{1}{3} < 0\]

    \[{\log _{\frac{5}{9}}}8 < 0\]

    \[{\log _{0,2}}10 < 0\]

    \[{\log _{0,53}}2 < 0\]

Соответственно, десятичный логарифм меньше нуля для 0<x<1.

Например,

    \[\lg \frac{3}{8} < 0\]

    \[\lg 0,24 < 0\]

Натуральный логарифм также принимает отрицательные значения для 0<x<1.

Например,

    \[\ln \frac{6}{{11}} < 0\]

    \[\ln 0,9 < 0\]

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

      

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *